vmest.ru страница 1
скачать файл

Лабораторная работа № 2

Приближенное вычисление интеграла

Вариант 11
Цель данной работы:

изучение различных методов вычисления определенных интегралов, практическое интегрирование функций на ЭВМ.

Для выполнения данной лабораторной работы необходимо разработать схемы интегрирования по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона и реализовать на ЭВМ, организовать необходимые вычисления и сделать вывод по результатам сделанной работы.

Для написания программы была выбрана формула Симпсона, которая относится к приемам численного интегрирования. Суть приема заключается в приближении функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленном второй степени p2(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a,b]:

где f(a), f((a + b) / 2) и f(b) — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

При условии, что у функции f(x) на отрезке [a,b] существует четвёртая производная, погрешность E(f), согласно найденной Джузеппе Пеано формуле равна:



В связи с тем, что значение ζ зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:



Для более точного вычисления интеграла, интервал [a,b] разбивают на N отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждый из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов всех отрезков.



, где величина шага, а границы отрезков.

Общая погрешность E(f) при интегрировании по отрезку [a,b] с шагом xixi − 1 = h определяется по формуле:



.

Так же, при невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:



.

Для определения величины шага, обеспечивающего требуемую точность, необходимо найти с помощью двойного пересчета.


Относительная погрешность

После проведенных действий необходимо определить только относительную погрешность:



где I – точное значение интеграла, вычисленное через первообразную функцию; Ih – значение интеграла, полученное в результате применения конкретной формулы интегрирования.


Блок-схема


Вывод: для реализации метода Симпсона на практике были даны следующие данные:

  • подынтегральная функция f(x) = x ln x

  • первообразная функция F(x) =x*x/2*lnx-x*x/4 заданная точность 0.00001

  • интервал [a,b] [2,6]

Реализовав данный метод на практике, выявились следующие результаты:

  • значение интеграла по методу Симпсона, равно 22,8653760852764

  • значение интеграла по первообразной, равно 22,8653760849851

  • погрешность вычислений (%), равно 0.000000001274108
скачать файл



Смотрите также:
Лабораторная работа №2 Приближенное вычисление интеграла
23.56kb.
Лабораторная работа №10. Приближенное вычисление интегралов с помощью быстрого преобразования фурье
116.07kb.
1. Дать определение первообразной и неопределённого интеграла. Доказать теорему об общем виде первообразной. Свойства неопределённого интеграла
41.76kb.
Лабораторная работа по дисциплине «эмм и пм» Вариант Проверил Уфа, 2007 г. Лабораторная работа №1
196.05kb.
Лабораторная работа № Настройка текстового процессора Microsoft Wor
535.73kb.
Лабораторная работа № Конструирование таблиц 3 лабораторная работа № Конструирование запросов на выборку 18
904.23kb.
Лабораторная работа №6 «Изучение треков заряженных частиц по готовым фотографиям». Цель: объяснить характер движения заряженных частиц
39.48kb.
Лабораторная работа №1 Реляционная модель данных
205.32kb.
Лабораторная работа «Термоэлектрические преобразователи Датчики температуры»
261.42kb.
Лабораторная работа №2 триггеры
268.29kb.
Лабораторная работа №1 Виртуальные машины
130.73kb.
Лабораторная работа №63 Основы сетевых технологий
65.5kb.