vmest.ru страница 1
скачать файл

Лекция 13

НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ


1. Постановка задачи. Общая расчетная модель

 

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:



  • экспоненциальное распределение наработки между отказами;

  • экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t0 вероятность состояния системы в будущем (t > t0) зависит только от состояния в настоящем (t  = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).

 


t < t0

t  > t0

 

 

Для марковского процесса «будущее» зависит от  «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.



Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S1 , S2 , … , Sn , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

- отсутствуют ограничения на число восстановлений;

- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями  S1 , S2 , … , Sn .



Основные правила составления модели:

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.



Элементы графа:

а) кружки (вершины графа S1 , S2 , … , Sn ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj .

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры графа:

 

 

 

S0 – работоспособное состояние;



S1 – состояние отказа.

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:

- исправное состояние продолжается;

- состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S1 , S2 , … , Sn . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

 

P1(t), P2(t), … , Pi(t), … , Pn(t),

 

где Pi(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е.



 

Pi(t) = P{S(t) = si}.

 

Очевидно, что для любого t



 



(1)

 

(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S1 , S2 , … , Sn нет).

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:

 




(2)

 

 

 

 

В общем случае, интенсивности потоков ij и ij могут зависеть от времени t.



При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а)  в левой части – производная по времени t от Pi(t);

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

 

4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний  P1(t), Pi(t), … , Pn(t) необходимо задать начальное значение вероятностей



P1(0), Pi(0), … , Pn(0),   при  t = 0,

сумма которых равна единице:

 

 

Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi(0) = 1, а остальные равны нулю.



 

2. Показатели надежности восстанавливаемых систем

 

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:



SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = SK SM ,

SK SM = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

 

 

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;



Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

 

 

3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При  t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются



 

 

Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их  левые части   dPi(t)/dt = 0, т.к.    Pi = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:



 



(3)

 

и коэффициент готовности:

 

 

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .



4.  Параметр потока отказов  системы

 




(4)

 

где jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

 




(5)

 

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

 



(6)

 

Примечание:             При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами

T0= kг.с./ ,

где  () = .

 

 

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока



= = 1/ T0,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления



= 1/ TВ ,

где T0 – средняя наработка  между отказами;



TВ – среднее время восстановления.

 

 

P0(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

P1(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

 




(7)

 

Начальные условия: при t = 0 P0(t = 0) = P0(0) = 1; P1(0) = 0, поскольку состояния S0 и S1 представляют полную группу событий, то

 

P0(t) + P1(t) = 1. 

(8)

 

Выражая P0(t) = 1 - P1(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P1(t):

 

dP1(t)/dt =   (1 – P1(t))  -  P1(t).

(9)

 

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi(t):

 

 

т. е. Pi(S) = L{Pi(t)} – изображение вероятности Pi(t).



Преобразование Лапласа для производной dPi(t)/dt:

 

 

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:



 

 




(9)

 

где L{} = L{1} = /S .

При P1(0) = 0

 

SP1(S) + P1(S)() = /S.



P1(S)( S + ) = /S,

 

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:



 



(10)

 

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

 

         

Применяя  обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;

 

L{f(t)} = 1/( S + a), то f(t) = e-at,

 

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

 




(11)

 

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

 



(12)

 

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.



Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi(t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

 

dPi(t)/dt = 0.

 

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .



При t алгебраические уравнения имеют вид:

 




(13)

 

Дополнительное уравнение: P0 + P1 = 1.

Выражая P1 = 1 - P0 , получаем 0 =   P0   -  (1 - P0 ), или = P0 (), откуда

 




(14)

 

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя  П(t)

 

Г(t) = P0 (t);         П(t) = 1 - Г(t) = P1(t).

 

- параметр потока отказов (t) по (4)



 

  (t) = P0(t) = Г(t).

 

При t (стационарный установившийся режим восстановления)



 

(t) = () = = P0 = kг.с.

 

- ведущая функция потока отказов (t )



 

 

- средняя наработка между отказами (t )



 

t0= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

 

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.



 

 

Рис. 1



 

Анализ изменения P0(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности          (= )

 

/ = 0  и   P0(t) = 1.

 

2) При отсутствии восстановления ( = 0)



 

/ =   и   P0(t) = e-t,

 

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.



Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

 

 

Система дифференциальных уравнений:



 

 

Начальные условия: P0 (0) = 1; P1(0) = 0.



Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

 

 

После группировки:



 

 

откуда



 

 

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t:



 

 

3. Связь логической схемы надежности с графом состояний

 

Переход от логической схемы к графу состояний необходим:



1)при смене методов расчета надежности и сравнении результатов;

2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.

Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).

Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные стрелки, соответствующие интенсивностям восстановлений .



 



 

скачать файл



Смотрите также:
Надежность восстанавливаемых объектов и систем
101.18kb.
Замечания и предложения по проекту Требований к описанию и отображению в документах территориального планирования объектов федерального значения, объектов регионального значения, объектов местного значения
39.06kb.
Лекция Вводная лекция (2 часа ). Содержание и задачи курса. Предмет коллоидная химия. Признаки объектов коллоидной химии
37.75kb.
Управление непроизводственных объектов Мосгосэкспертизы
46.21kb.
Обобщения сетей Петри. Цветные сети Петри
105.79kb.
Лекционные аудитории: демонстрационный экран, мультимедийный видеопроектор, рабочая станция преподавателя
428.03kb.
1. Функциональный анализ технических объектов
346.06kb.
Разработана методика, позволяющая рассчитывать требуемую удельную мощность при проектировке различных систем электрического обогрева. Описаны методы повышения энергоэффективности таких систем
87.41kb.
Окружающий человека мир делится на живой и не­живой. Отличительной особенностью живых объектов является их способность расти и размножаться
308.61kb.
Международной научно-практической конференции
31.91kb.
Требования к уровню освоения учебного материала после завершения урока
74.74kb.
Структура статистики объектов нечисловой природы
183.25kb.